垂直軸定理

一個平面剛體薄板對于垂直它的平面的軸的轉動慣量，等于繞平面內與垂直軸相交的任意兩正交軸的轉動慣量之和。

表達式:iz=ix+iy

剛體對一軸的轉動慣量，可折算成質量等于剛體質量的單個質點對該軸所形成的轉動慣量。由此折算所得的質點到轉軸的距離 ，稱為剛體繞該軸的回轉半徑κ，其公式為 i=mk^2，式中m為剛體質量;i為轉動慣量。

轉動慣量的量綱為l^2m，在si單位制中，它的單位是kg·m^2。

剛體繞某一點轉動的慣性由更普遍的慣量張量描述。慣量張量是二階對稱張量，它完整地刻畫出剛體繞通過該點任一軸的轉動慣量的大小。

補充對轉動慣量的詳細解釋及其物理意義：

先說轉動慣量的由來，先從動能說起大家都知道動能e=(1/2)mv^2，而且動能的實際物理意義是：物體相對某個系統(選定一個參考系)運動的實際能量，(p勢能實際意義則是物體相對某個系統運動的可能轉化為運動的實際能量的大小)。

e=(1/2)mv^2 (v^2為v的2次方)

把v=wr代入上式 (w是角速度,r是半徑，在這里對任何物體來說是把物體微分化分為無數個質點，質點與運動整體的重心的距離為r,而再把不同質點積分化得到實際等效的r)

得到e=(1/2)m(wr)^2

由于某一個對象物體在運動當中的本身屬性m和r都是不變的，所以把關于m、r的變量用一個變量k代替, 　　k=mr^2

得到e=(1/2)kw^2 　　k就是轉動慣量，分析實際情況中的作用相當于牛頓運動平動分析中的質量的作用，都是一般不輕易變的量。

這樣分析一個轉動問題就可以用能量的角度分析了，而不必拘泥于只從純運動角度分析轉動問題。

變換一下公式角度分析轉動

1、e=(1/2)kw^2本身代表研究對象的運動能量

2、之所以用e=(1/2)mv^2不好分析轉動物體的問題，是因為其中不包含轉動物體的任何轉動信息。

3、e=(1/2)mv^2除了不包含轉動信息，而且還不包含體現局部運動的信息，因為里面的速度v只代表那個物體的質心運動情況。

4、e=(1/2)kw^2之所以利于分析，是因為包含了一個物體的所有轉動信息，因為轉動慣量k=mr^2本身就是一種積分得到的數，更細一些講就是綜合了轉動物體的轉動不變的信息的等效結果k=∑ mr^2 (這里的k和上樓的j一樣)

所以，就是因為發現了轉動慣量，從能量的角度分析轉動問題，就有了價值。

若剛體的質量是連續分布的，則轉動慣量的計算公式可寫成k=∑ mr^2=∫r^2dm=∫r^2σdv

其中dv表示dm的體積元，σ表示該處的密度，r表示該體積元到轉軸的距離。

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