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4.3動力學

本節內容提示：

4.3.1牛頓定律及質點運動微分方程

4.3.2動量定理

4.3.3動量矩定理

4.3.4動能定理

4.3.5達朗貝爾定理

4.3.6質點的直線振動

4.3.1牛頓定律及質點運動微分方程

1.牛頓第一定律

牛頓第一定律——如果質點不受力的作用，那么它或者是靜止，或者是作勻速直線運動。

牛頓第一定律表明，任何物體都有保持靜止或勻速直線運動狀態的屬性，該屬性習慣上稱為慣性。因此牛頓第一定律也稱慣性定律。

2.牛頓第二定律

牛頓第二定律——質點受力的作用時所獲得的加速度與力的大小成正比，與質點的質量成反比，加速度的方向與力的方向相同。即

   或 

這是一個矢量表達式，它表明力的方向與加速度方向是一致的。

3.牛頓第三定律

牛頓第三定律——兩物體間相互的作用力，總是大小相等，方向相反，并且沿著同一條直線。

牛頓第三定律也稱為作用力和反作用力定律。這個定律不僅在物體平衡時適用，而且也適用于作任何形式運動的物體。

牛頓定律所給出的結論只有在慣性參考系才是正確的。

4.質點運動的微分方程

質點受到n個力f₁，f₂，…，f_n作用時，由質點動力學的

基本方程，有

 

 

 

根據質點運動學中描述質點的運動的三種基本方法，可以將

質點的動力學基本方程表示為不同形式的微分方程。

（1）質點運動微分方程的矢量形式 

 

 

 

（2）質點運動微分方程的直角坐標形式 

 

 

 

 

 

 

由牛頓第二定律得

 

 

 

（3）質點運動微分方程的自然坐標形式 

若將課本中的式(6-2)在自然軸系的切線方向、法線方向投影可得質點運動微分方程的自然坐標形式，即

 

 

 

例 質量為m的質點m繞橢圓形路線運動，如圖所示其運動方程為

 

方程中a、b、k都是常數，求作用在質點上的力f。

 

解   以質點m為研究對象，將運動方程微分兩次得

 

 

 

由牛頓第二定律得

作用在此質點上的力在軸上的投影為

 

 

 

 

 

力f與矢徑r共線、反向，這表明，此質點按給定的運動方程作橢圓運動。

4.3.2動量定理

一、質點的動量

質點的動量——設質量為m的質點相對于某一慣性參考系以速度v作運動。質點的動量等于質點的質量與其速度的乘積，即mv。動量是矢量，它的方向與質點速度的方向一致。

二、質點系的動量

質點系內各質點動量的矢量和稱為質點系的動量，即

 

 

 

 

三、質心的動量

質心——組成質點系各質點的質量及其在空間的位置是不同的。表征質點系中各質點的質量及其位置的分布情況的一個幾何點稱為質量中心，簡稱質心。

 

靜力學中求質心的公式為

 

 

 

 

其坐標公式為

由于質點系的動量是質點系各質點動量的矢量和，再由質心的定義得

 

 

可見質點系的動量（主矢）等于質點系的總質量與質心速度的乘積。寫成投影式為

 

 

 

 

 

 

 

例 求圖中各質點系的動量。(1)質量為m，質心速度為 v_c的均質圓盤在水平面上運動；(2)質量為m，長為l的均質桿繞o軸轉動的角速度為ω；(3)皮帶及皮帶輪的質量都是均勻的。 

 

  解  (1)

 

(2)

 

(3)因為皮帶及皮帶輪的質量均勻分布，系統在任何瞬時的形狀與質量分布都是相同的，所以質心的位置固定不動 即

                    故

4.3.3動量矩定理

一、動量矩

1.質點的動量矩

質點q的動量對于o點的矩，定義為質點對點o的動量矩：

質點動量mv在oxy平面的投影（mv)_xy 對于點o的矩，定義為質點動量對于z軸的矩，簡稱對于z軸的動量矩。

 

質點對于o點的動量矩矢在z軸上的投影，等于對z軸的動量矩。

正負號規定與力對軸矩的規定相同：對著軸看“順時針為負，逆時針為正”。

 

2.質點系的動量矩

質點系對點o動量矩等于各質點對同一點o的動量矩的矢量和，或者稱為質點系動量對點o的主矩，即

 

質點系對某軸z的動量矩等于各質點對同一軸z動量矩的代數和，即

 

所以有

上式表明：質點系對某點o的動量矩矢在通過該點的z軸上的投影等于質點系對于該軸的動量矩。

二、動量矩定理

1.質點的動量矩定理

 

對質點動量矩求一次導數，得

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

因為   得

上式表示質點對任意一定點的動量矩對時間的一階導數，等于作用力對同一點的矩，稱為質點的動量矩定理。

2．質點系的動量矩定理

對于n個質點，由質點動量矩定理有

 

 

 

 

n個方程相加，有

 

 

 

 

 

由于

 

 

于是

上式表明質點系對于某定點o的動量矩對時間的導數，等于作用于質點系的所有外力對于同一點的矩的矢量和（外力

對點o的主矩），稱為質點系的動量矩定理。

4.3.4動能定理

一、質點的動能定理

質點運動微分方程的矢量形式為

 

 

 

兩邊同時乘以dr得：

 

 

 

由于           故

 

                或

 

積分得                      或

 

 

即在質點運動的某個過程中，質點動能的改變量等于作用在質點的力所作的功。

二、質點系的動能定理

對于由n個質點組成的質點系，其中任意一質點都符合動能定理，即

 

 

 

將所有的質點動能方程相加得

                          

或

 

4.3.5達朗貝爾定理

一、質點的達朗伯原理

設一質點m質量m， 受主動力f和約束力fn ，合力

 

 

 

若令

稱為質點的慣性力

 

 

作用在質點上的主動力、約束力和虛加的慣性力在形式上組成平衡力系，這就是質點的達朗伯原理。

二、質點系的達朗伯原理

對于由n個質點組成的質點系，其中任意一質點i的達朗伯原理表示為

 

 

若將作用在質點i 上的力分為外力合力 和內力合力 ，則

 

 

將各質點外力合力、內力合力與虛加慣性力合力相加得

 

 

因為               

 

故：

 

 

 

4.3.6質點的直線振動

1、質點的自由振動

如圖所示，質量為m的物塊掛在剛度系數為k的彈簧上，彈簧自然長度 l0,這就構成了典型的單自由度系統，稱為彈簧——質量系統。

（1）自由振動微分方程

由平衡條件∑fx=0,得：

mg=kδst

當物塊偏離距離x時，微分方程：

md²x=mg-k（δst+x）

即

md²x=-kx

（2）振幅、初相位和頻率

無阻尼的自由振動以其靜平衡位置為振動中心的簡諧振動，其振幅a和初相位角α分別為：

，