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第五節   微分方程

 

一、基本概念

（一）微分方程

表示未知函數及其導數、自變量之間的關系的方程，稱為微分方程。微分方程中所出現的最高階導數的階數，稱為微分方程的階。

 

（二）微分方程的解、通解

微分方程的解是一個函數，把這函數代人微分方程能使該方程成為恒等式。確切地說，對于n階微分方程

那么函數就稱為微分方程（ 1 - 5 - l ）在區間 i 上的解。

如果二元代數方程所確定的隱函數是某微分方程的解，那么稱為該微分方程的隱式解。

含有n個獨立的任意常數的微分方程的解，稱為n階微分方程的通解。

 

（三）初始條件與特解

能用來確定通解中的任意常數的條件稱為初始條件。通常一階微分方程的初始條件為；二階微分方程卯初始條件為，。

通解中的任意常數全都確定后，就得到一個確定的解，稱為微分方程的特解。

（四）例題

【 例1- 5 - l 】驗證函數是微分方程的通解。

【 證 】

代人方程有

所給方程是二階的，所給函數中恰好含 c_l 、 c₂ 兩個任意常數，且因常數，故這兩個任意常數不能合并成一個，即它們是相互獨立的，因此所給函數是所給方程的通解。

二、可分離變量的方程

一階微分方程

稱為可分離變量的方程。把式中的 y 和 dy 歸人方程的一端，x 和 dx 歸人另一端，成為

      

這一步驟稱為分離變量。分離變量后，兩端可分別積分

設 g （y）、 f （ x ）的原函數依次為 g （y）與 f（x），即得方程（ 1-5 - 2 ）的通解

【 例1- 5-2 】xoy平面上一條曲線通過點（ 2, 3 ） ，它在兩坐標軸間的任一切線段均

被切點所平分，求它的方程。

【 解 】 設曲線上任一點為（ x ，y），依題意，曲線在點（x，y）的切線在兩坐標軸上的截距應為 2x 及 2y , （圖 1-5-1 ） ，切線斜率為，因此有

初始條件為x＝ 2 時 y = 3 。

分離變量得

積分得

以初始條件代入得 c₁ = 6 ，故所求曲線方程為

三、一階線性方程

方程

稱為一階線性方程。當時，式（ 1 - 53 ）稱為線性齊次方程；當時，式（ 1 - 53 ）稱為線性非齊次方程。

線性齊次方程是一個變量可分離的方程。經分離變量并積分，即得通解

為解非齊次方程（ 1-5-3 ) ，可作變換，代入方程得

整理得

積分得

于是得方程（ 1-5-3 ）的通解

例題

1．求方程的通解。

 

【解 】 利用一階線性方程的通解公式（ 1-5-4 ）來求解，為此，把所給方程寫成標準形式

這里

代入公式（ 15 - 4 ) ，得

2．已知微分方程的一個特解為，則此微分方程的通解是

【解 】 原方程對應的齊次方程的通解為

根據線性方程解的結構可知原微分方程的通解為

故應選（ c ）。