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【 例 1- 4-3 】  判別級數的收斂性。

【 解 】   所給級數為正項級數，因為

根據根值審斂法知所給級數收斂。

     【 例 1-4 – 4】   數項級數的部分和數列有界是該級數收斂的

（ a ）充分條件。            

（ b ）必要條件。

（ c ）充分必要條件。       

（ d ）既非充分又非必要條件。

【解 】 按數項級數收斂的定義，級數收斂即級數的部分和數列有極限，而部分和數列有界是部分和數列有極限的必要條件，故選（ b ）。

注意對正項級數來說，部分和數列有界是級數收斂的充分必要條件，而對一般的非正項級數來說，部分和數列有界僅是級數收斂的必要條件，而不是充分條件。

【 例1-4 -5】級數

的收斂性是

（ a ）發散     

（ b ）條件收斂     

（ c ）絕對收斂     

（ d ）無法判定

【 解 】 按萊布尼茲判別法知，級數收斂；級數是 p -級數的情形，p < 1 ，故級數發散，因此應選（ b ）。

【 例1-4 -6】判別級數

的收斂性。

【 解 】 所給級數是任意項級數，因為

而級數是收斂的（p-級數，p = 4 ）。根據比較審斂法知，級數收斂，即級數絕對收斂，從而級數收斂。

 

【 例 1 - 4 -7 】判別級數的收斂性。

【 解 】 所給級數為任意項級數，因為

根據任意項級數審斂法（ 3 ）知，所給級數發散。

 

［例 1 -4 - 8 ］下列各選項正確的是

二、冪級數泰勒級數

（一）冪級數的概念和性質

1 ．冪級數的概念

稱為冪級數，令，可化為

2 ．冪級數的收斂性

若級數當時收斂，則對適合的一切x，級數絕對收斂；若級數當時發散，則對適合的一切 x ，級數發散。

3 ．冪級數的收斂半徑及其求法

若冪級數在某些點收斂，在某些點發散，則必存在唯一的正數 r ，使當時，級數絕對收斂，當時，級數發散。這個 r 稱為冪級數的收斂半徑；若冪級數只在 x = 0 處收斂，則規定收斂半徑 r = 0 ；若冪級數對一切 x 都收斂，則規定收斂半徑

對冪級數若

則它的收斂半徑

4 ．冪級數的性質

若冪級數的收斂半徑為 r ，則稱開區間（- r , r ）為冪級數的收斂區間，"

根據冪級數在 x ＝± r 處的收斂情況，可以決定冪級數的收斂域（即收斂點的全體）是四個區間：（- r , r ）、［- r , r ）、（- r , r ］、[- r , r ］之一。

冪級數具有以下性質：

（ l ）冪級數的和函數在其收斂域上連續；

（ 2 ）冪級數的和函數在其收斂區間內可導，且有逐項求導、逐項積分公式

逐項求導、逐項積分后所得到的冪級數和原級數有相同的收斂半徑。

（二）泰勒級數

1 ．泰勒級數的概念

若 f （ x ）在點 x₀處具有各階導數，則冪級數稱為函數f （ x ）在點 x₀處的泰勒級數，特別當x₀ = 0 時，級數稱為函數 f （ a ）的麥克勞林級數。

2 ．函數展開成泰勒級數的條件

設函數 f （x）在點 x₀的某鄰域 u （ x₀）內具有各階導數，則 f （ x）在該鄰域內能展開成泰勒級數（即 f （ x ）的泰勒級數收斂于 f （ x ）本身）的充分必要條件是 f （ x ） 的泰勒公式中的余項

（其中）

3 ．常用函數的冪級數展開式

【例 l - 4 - 9 】 冪級數的收斂域是

（ a ） （- 1 ,l ）    

（ b ） （- l , 1 ）     

（ c ） （- l , l ）     

（ d ） （- l , 1 ）

【 解 】 易知級數收斂半徑 r = l ，當 x ＝- 1 時，級數，當x = 1時，級數收斂，故應選（ d ）。

 

（ a ）條件收斂  

（ b ）絕對收斂

（ c ）發散

（ d ）收斂性不能確定

【 解 】 由的結構知其收斂區間的中心為x = 1，已知 x = -1為此級數的一個收斂點，設其收斂半徑為 r ，則，而 x = 2 與收斂區間中心x＝ 1的距離為 1 , 1 < r ，由冪級數的收斂性（阿貝爾定理）知，此級數在 x = 2 處絕對收斂，故應選（ b ）。

【 例 1 - 4 - 11 】利用逐項求導法求級數

的和函數。

【 解 】冪級數的和函數是即

利用逐項求導公式，得

 

【 例 l - 4 – 12】將函數展開成（x一 3 ）的冪級數。

【 解 】 因為

而

因此

 

【 例 1 · 4 · 13】 將函數

展開成 x 的冪級數。

［解］先將有理分式分解成部分分式之和：