（二）極限存在準則和兩個重要極限
2 ．單調有界準則和極限
準則ii 單調有界的數列（或函數）必有極限。
利用準則ii，可得另一個重要極限
其中 e 是一個無理數， e =2 . 71828 … …
（三）無窮小的比較
設 a 及都是在同一個自變量變化過程中的無窮小,且0， lim 也是在這個變化過程中的極限。
若 lim =0，就稱是比a高階的無窮小，記作=（a）；并稱a是比低階的無
窮小；
若 lim =c 0，就稱是與 a 同階的無窮小；
若 lim =1, 就稱是與 a 等階的無窮小，記作a 。
關于等價無窮小，有以下性質：
若,且 lim 存在，則
當 x 0時，有以下常用的等價無窮小：
（四）例題
一般地，對有理分式函數
其中p（ x ）、 q （ x ）是多項式， 若（x）=q（x0） 0,則
注意：若 q （ x 0） = 0 ，則關于商的極限運算法則不能應用，需特殊考慮。
【例1-2-2】 求
【 解 】 （x2- 9 ） = 0 ，不能應用商的極限運算法則。但分子、分母有公因子x-3,故
【例1-2-3】 。
【 解 】 （ x2-5x+4）=0, （2x-3）= -1,故
從而
【例 l -2 -4】 求。
【 解 】 當 x 時，分子、分母都為無窮大，不能應用商的極限運算法則，但可先用 x3 去除分子、分母，故
【例1-2-5】 等于
（ a ） 1
（ b ） 0
（ c ）不存在且不是
（ d ）
【解】 由于=0，，按照“有界函數與無窮小的乘積是無窮小”，故應選（b）, 注意不要與極限=1相混淆。
【例1-2-6】 求。
【 解 】 令 x＝- t ,則當 x 時，t 。于是
【例1-2-7】 求。
【例1-2-8】 求。
【解】當 x 0 時，tan2x 2x, sin5x 5x，所以
【例1-2-9】 求。
【解】 當 x 0時，,cosx-1-,所以